MacにFuelPHPをインストールし、Bitbucketにpushするまでの一連の流れ

設定されているかどうか。ドキュメントルートまで移動し、確認

○○/public/にアクセス

という画面が出れば、OK

Bitbucketの設定に関しては

こちらを確認するといいでしょう。